La Duplicacion Del Volumen Del Cubo

Historia de la duplicación del cubo

Los griegos fueron grandes pensadores, pero también religiosos, pues creían en los dioses y entregaban su vida a ellos. Gracias a ellos se narran en la actualidad fabulosas y grandes historias.

Las matemáticas griegas tenían tres problemas clásicos que fueron extremadamente importantes para el desarrollo de la geometría. Estos problemas eran encontrar la cuadratura de un círculo, duplicar el cubo y trisecar un ángulo. Aunque en la actualidad el problema mas estudiado sea la cuadratura de un circulo, para los griegos el mas importante fue la duplicación del cubo, aunque también llamado el problema de délos o problema délico.

El problema de la duplicación del cubo tiene un origen fabuloso, bueno hay dos narraciones totalmente distintas. A pesar que de que los relatos son mas mitológicos que históricos.

En una de las versiones, una carta juega un papel muy importante, el una carta de Eratóstenes al Rey Ptolomeo, que decía lo siguiente: Eratóstenes al Rey Ptolomeo, saludos.

La anécdota cuenta que uno de los poetas trágicos colocaba a Minos mandando a construir una tumba para Glauco y que, cuando este descubrió que solo meda cien pies de cada lado, dijo “Demasiada pequeña es la tumba que habéis señalado como sitio real de descanso. Hacedla el doble de grande. sin arruinar la forma, rápidamente duplicad cada lado de la tumba”.Esto claramente era un error. Ya que si los lados se duplicaban, la superficie se multiplica por cuatro el volumen por ocho.Otra versión de la aparición del problema fue la siguiente:

Relata la leyenda que una terrible peste asolaba a la ciudad de Atenas, la cuan mato a Pericles. Una comisión de la ciudad Fue al oráculo de Délos, consagrado a Apolo (en ciertas ocasiones aparece el oráculo de Delfos en lugar del de Délos, también consagrado a Apolo), para pedirle ayuda, para ver que se debía hacer para así exterminar la peste.

El oráculo les dijo que se debía duplicar el altar consagrado a Apolo en la isla de Delos. Pero había un pequeño problema que ellos no notaron, pues el altar tenía una peculiar forma un cubo. Ellos supusieron que habían duplicado el altar pero lo que hicieron fue agrandarlo ocho (8) veces.

La peste no seso así que volvieron a donde el oráculo y el les hizo caer en cuenta del error que habían cometido. Al verse envueltos en ese embrollo no supieron como detener la peste, peste que mato aproximadamente un cuarto de la población.Esas son las dos versiones del origen del problema griego, el mas famoso en su época.La peste azotó a la ciudad aproximadamente en el año 480 o´420 antes de Cristo, así que se cree que fue por esa época que se planteo el problema.

LOS PRIMEROS INTENTOS DE RESOLVER EL PROBLEMA “LA DUPLICACIÓN DEL CUBO”

El primer paso importante para la resolución del problema fue dado por Hipócrates, y fue darle una comprensión moderna al problema.

• Encontrar un cubo tal que su razón a un cubo dado sea igual a la razón entre dos líneas dadas. es el planteamiento antiguo.
• Dadas dos líneas, encontrar dos medias proporcionales entre ellas. Es decir, dadas las líneas a, b. Encontrar x, y tales que a : x = x : y = y = b. Esta el nuevo planteamiento. Aunque podríamos decir que en el libro de los Elementos de Euclides hay una demostración parecida.

Esto podría expresarse en términos mas actuales a3 : x3 = (a:x)3 = (a : x)(x : y)(y : b) = a : b . Hay una forma de demostrar el resultado que obtuvo Hipócrates de que el planteamiento antiguo y moderno son equivalentes. Pero eso no lo citaremos.

El segundo paso por decirlo así fue que demostró su nuevo planteamiento, que el problema puede reducirse a encontrar dos medias proporcionales entre arista dada y el doble de la misma.

Con la notación actual resulta

y a partir de ellas x2 = a y ; y2 = 2a x Si consideramos a = unidad podemos obtener el valor de la arista del cubo buscado mediante la intersección de las parábolas x2 = y e y2 = 2 x tal como aparece en la gráfica

Muchos otros matemáticos se basaron en el mismo planteamiento para hallar la solución del problema, claro estos fueron después de Hipócrates de Quíos. Como Arquitas de Tarento, Menecmo y Eratóstenes de Cirene, pero todos obtuvieron aproximaciones, en ningún caso se obtuvieron resultados exactos.

La solución de Arquitas es la mas destacada de todas, y mas cuando se considera la fecha en la que fue hallada (la primera mitad del siglo IV a. de C.), pues no es una construcción plana sino una construcción en tres dimensiones la cual determina un cierto punto como la intersección de tres superficies de revolución…

Menecmo también en el siglo IV a.C ya había hallado la solución mediante la intersección (con el lenguaje actual) de una parábola y una hipérbola (y = 2/x) al considerar los miembros primero y tercero de la proporción a : x = y : 2a y primero y segundo a : x = x : y que para a = unidad son la parábola e hipérbola de la gráfica

La solución, lo único que se pudo demostrar fue que el problema no tiene solución, eso lo comprobó el francés Pierre Wantzel gracias a sus trabajos hechos en geometría, en el año 1837.Aparte de eso tanto el problema de duplicar un cubo y trisecar un ángulo, son problemas irracionales, es decir cuyas soluciones son irracionales, y como dependen de ecuaciones de tercer grado no se pueden resolver con regla y compás, exige construcciones en el espacio. Eso no lo sabían los griegos.