La Triseccion Del Angulo

LA TRISECCIÓN DEL ÁNGULO

“Se puede demostrar que el problema anterior equivale a hallar un x tal que; pero el x hallado solo es expresable como una raíz cúbica que no es construible con regla y compás”.*

Fue el tercer problema que los griegos intentaron resolver. Que consiste en dividir un ángulo en tres partes iguales, solo con el uso de la regla y el compás.Al parecer este problema pudo surgir a partir de lograrse la bisección del ángulo.

Estos quisieron hacerlo con regla y compás, teniendo en cuenta que la regla que ellos utilizaban era no graduada. Después gracias a la ayuda de Gauss se logro dar fin a la duda que rodeo por tanto tiempo a este problema irresuelto, quien afirmo que esto era imposible aunque no dejo pruebas que comprobaran la veracidad de su afirmación, en el año 1837 gracias a una demostración rigurosa por parte de Pierre Laurent Wantzel se logro la verificación de lo inicialmente enunciado por Gauss. El matemático Pierre Wantzel (1814-1848) probó que un ángulo a es trisecable con regla y compás si el polinomio 4x3-3x-cos(a) es reductible.

Se dieron muchas formas mediante la cuales los grandes matemáticos intentaron dar solución a este problema. Aunque en este momento se pueden consultar muchas formas según las cuales se puede dar solución al problema enunciado pero estas no son reales talvez muchas pueden mostrar una aproximación muy útil en algunos casos pero estos no verifican la realidad buscada en la demostración.

Con el uso de un software especialmente diseñado, se calcula el valor del ángulo dividido por tres, se obtienen excelentes aproximaciones, al menos hasta el número de decimales que soporte el programa. CABRI, un software no muy especializado en estos cálculos, nos da iguales los ángulos hasta la octava cifra decimal (sin entrar a valorar si la medida del ángulo se corresponde con el número que se muestra en pantalla).

Equivalente a lo anterior es el cálculo de la longitud del arco, y dividir este por tres. Tanto esto como lo anterior, son excelentes aproximaciones, pero no realizadas con regla y compás.

Aunque este problema, no tiene solución en la mayoría de los casos, hay algunos en los cuales se puede trisecar fácilmente el ángulo: por ejemplo la trisección del ángulo recto, y los matemáticos han encontrado otros a lo largo de la historia a los cuales también se le puede dar solución.

La trisección del ángulo, gran problema matemático, obtuvo grandes interpretaciones por parte de los matemáticos quienes intentaron con sus distintos métodos y particularidades encontrar una respuesta a dicho problema; una de las formas que se intento dar repuesta, fue la propuesta por Arquímedes, quien utilizando una cuerda y enrollándola sobre si misma, este fue su medio para mostrar la trisección del ángulo; aunque este no fue aprobado por los griegos, porque estos consideraban que el problema debía ser desarrollado por regla y compás.

La espiral propuesta por Arquímedes, fue de gran utilidad, porque esta era siempre de igual medida; es decir la anchura de sus espiras es siempre la misma.

La forma de trisecar el ángulo según la espiral uniforme de Arquímedes consistía en: se hace coincidir el vértice del ángulo con el origen de la espiral, dividir el segmento que va desde el origen al punto de corte de la espiral con el segundo lado del ángulo en tres partes iguales y trazar por esos puntos arcos de circunferencia hasta que corten a la espiral.

Si unimos el origen con esos puntos de corte tendremos los tres ángulos que dividen al original en tres partes iguales. Por desgracia para las matemáticas la espiral uniforme no se puede dibujar con regla y compás.

*Tomado de http://docencia.udea.edu.co/cen/edp-705/archivos/cap%2012/12-2.htm